Literatur: P. Fleissner, W. Böhme, H.-U. Brautzsch, J. Höhne, J. Siassi, K. Stark: Input-Output-Analyse. Eine Einführung in Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Wien, New York 1993.
1 · Struktur festlegen
Datenbox verwalten ↗Verflechtungstabellen (Güter × Bereiche); statische Datensätze unter „Weitere“ als n Güter, 1 Bereich.
CSV-Format (Semikolon-getrennt): 1. Zeile „n=…;m=…“, 2. Zeile Spaltenköpfe, dann n·m Zeilen der
Vorleistungsmatrix, letzte Zeile „Y;…“ für die Endnachfrage.
📦 In Datenbox speichern
Speichert die aktuelle Tabelle (nach „Berechnen“) mit vollständiger vierdimensionaler Struktur
(n, m, Z, Y) sowie Matrix A und Y in der zentralen Datenbox.
2 · Vorleistungsmatrix Xijkl und Endnachfrage Yik (Modell M1)
3 · Ergebnisse M1 (vierdimensionaler Ansatz)
Xik = Σ Zeile(Xijkl) + Yik
a(ik)(jl) = Xijkl / Xjl
L = (I − A)−1
Weiter zu Reiter 2, um die Modelle M2–M9 aus diesen Daten abzuleiten.
4 · Gewichtsmatrix W (Anteilkoeffizienten je liefernder Bereich)
wijkl = Xijkl / Σk' Xij k'l — Anteil des Wirtschaftsbereichs k an der gesamten
Lieferung des Gutes i in die Verwendung (j,l). Spaltensummen je Gut ergeben 1.
5 · Prognose bei geänderter Endnachfrage
Neue Endnachfrage Y' eintragen — die resultierende Bruttoproduktion X' = L · Y' wird berechnet,
unter der Annahme konstanter Inputkoeffizienten A.
6 · Preisbewertung — Ap = ⟨p⟩A⟨p⟩⁻¹
Ein Preis pik je Gut und Bereich (G1-B1, G2-B1, …): Güter aus verschiedenen Bereichen können
unterschiedliche Preise haben. Xpik = pik·Xik,
apijkl = aijkl·pik/pjl. Standard: 1.
Xp = ⟨p⟩·X (Bruttoproduktion in Werteinheiten)
Zp = ⟨p⟩·Z (Vorleistungsmatrix in Werteinheiten)
Ap = ⟨p⟩·A·⟨p⟩⁻¹ — preisbewertete Inputkoeffizienten
Lp = (I − Ap)⁻¹
⚠ Nutzt die Daten aus Reiter 1 — bitte dort zuerst Struktur festlegen und "Berechnen" ausführen.
Zuordnungsvorschriften der Klassifizierungsmerkmale
Nummer des Ansatzes
Zuordnungsvorschrift
Übliche Bezeichnung des Modells
M1
i,k → j,l
Vierdimensionaler Ansatz
M2
i,k → j
—
M3
i,k → l
—
M4
i → j,l
Vereinfachtes Schema der Naturalwert-Verflechtungsbilanz
M5
i → j
Leontief-Modell (güterkonkrete bzw. funktionelle Darstellungsweise)
M6
i → l
Rechteckiges Input-Output-Modell
M7
k → j,l
—
M8
k → j
Rechteckiges Input-Output-Modell
M9
k → l
Leontief-Modell (wirtschaftsbereichbezogen bzw. institutionelle Darstellung)
Die Zuordnungsvorschrift gibt an, welche Klassifikationsmerkmale (Gut/Bereich) auf Input- bzw.
Outputseite gegenüber dem vierdimensionalen Ansatz M1 erhalten bleiben. M5 und M9 sind die
klassischen (quadratischen) Leontief-Modelle; die übrigen sind rechteckig.
Bildungsvorschriften der Inputkoeffizienten
Jeder Koeffizient eines einfacheren Modells lässt sich aus aijkl (M1) durch Summation über das
entfallende Merkmal bilden. Entfällt ein Merkmal auf der Outputseite, ist zusätzlich mit c bzw. d
zu gewichten:
djl = Xjl / Xj· — Anteil des Wirtschaftsbereichs l an der Bruttoproduktion des Gutes j (Xj· = Σl Xjl)
cjl = Xjl / X·l — Anteil des Gutes j an der Bruttoproduktion des Wirtschaftsbereichs l (X·l = Σj Xjl)
M2/M3 wenden c bzw. d direkt auf M1 an; M5/M6 und M8/M9 setzen auf den bereits (input-seitig)
vereinfachten Modellen M4 bzw. M7 auf. Rechnerisch entspricht das genau der Bildung von
Summe(Xijkl)/Summe(Xjl) über die entfallenden Indizes — beide Wege liefern dieselben Werte.
⚠ Nutzt die Daten aus Reiter 1 — bitte dort zuerst Struktur festlegen und "Berechnen" ausführen.
Allgemeiner Mechanismus
Die Güterindizes werden in zwei disjunkte Teilmengen N₁ und N₂ zerlegt (N₁∪N₂=N, N₁∩N₂=∅).
Vorleistungen, die zwischen den beiden Gruppen fließen, werden aus der jeweiligen Teiltabelle
herausgelöst: Lieferungen an die andere Gruppe erhöhen die Endnachfrage (Y*), Bezüge von der
anderen Gruppe erhöhen den Primärinput (P*) der jeweiligen Teiltabelle.
Y*ik = Yik + ΣlΣj∈N₂ Xijkl für i∈N₁,k∈M
P*jl = ΣkΣi∈N₂ Xijkl für j∈N₁,l∈M
Symmetrisch für Teiltabelle 2 (N₂) mit vertauschten Rollen von N₁ und N₂. Jede Teiltabelle ist
danach für sich ein vollständiges, eigenständig lösbares Leontief-System X = (I−A)⁻¹Y*.
Grundlage ist die aktuell in Reiter 1 eingegebene bzw. geladene Tabelle. Güter
einer Gruppe N₁ zuordnen — der Rest bildet automatisch N₂:
Struktur: Zeilen = Güter, Spalten = Wirtschaftsbereiche, zusätzlich Endnachfrage y
und Bruttoproduktion x. Noch ohne Werte.
Struktur festlegen
Use-Matrix U (Gut × Bereich): Verwendung eines Gutes als Vorleistung im jeweiligen Bereich.
Make-Matrix V (Bereich × Gut): Produktion eines Gutes im jeweiligen Bereich. Struktur unabhängig
von den Reitern 1–3 — eigene Anzahl Güter/Bereiche.
U: Zeile = Gut i, Spalte = Bereich l. V: Zeile = Bereich k, Spalte = Gut i. y: güterbezogene
Endnachfrage. Bilanz: Zeilensumme(U)+y = Spaltensumme(V).
Use-Matrix U (n × m) + Endnachfrage y
Make-Matrix V (m × n)
Industrie-Technologie: jeder Bereich hat eine einheitliche Inputstruktur, unabhängig davon, welches
Gut er herstellt. Güter-Technologie: jedes Gut wird mit derselben Inputstruktur produziert, unabhängig
davon, in welchem Bereich es hergestellt wird (erfordert n = m).
Abgeleitete Matrizen
x (Güter-Output)
g (Bereichs-Output)
D = V·⟨x⟩⁻¹ — Marktanteilsmatrix
B = U·⟨g⟩⁻¹ — Verwendungskoeffizienten
C = V'·⟨g⟩⁻¹ — Produktionsstruktur
A (Güter × Güter)
aij: Aufwand des Gutes i zur Herstellung einer Einheit des Gutes j.
A (Bereich × Bereich)
akl: Aufwand aus Bereich k zur Herstellung einer Einheit des Outputs von Bereich l.
Lii = (I−Aii)⁻¹, Xii = Lii·y
lij: voller (direkter + indirekter) Aufwand an Gut i zur Deckung einer Einheit Endnachfrage nach Gut j.
Lll = (I−All)⁻¹, y' = D·y, Xll = Lll·y'
lkl: voller (direkter + indirekter) Aufwand von Bereich k, der zur Deckung einer Einheit Endnachfrage an Bereich l nötig ist.
Struktur festlegen
Eigene Struktur, unabhängig von Reiter 1. Ausgangspunkt für das Input-Output-Schema Variante 1 —
Vorstufe zur Naturalwert-Verflechtungsbilanz. Auf Wunsch können auch die aktuellen Daten aus
Reiter 1 übernommen werden.
Vorleistungsmatrix und Endnachfrage
Preisvektor (für Bereich-Zeilen Q3/Q4 und wertmäßige Darstellung)
Ein Preis pik je Gut und Bereich (G1-B1, G2-B1, …). Die Bereich-Zeilen werden damit wertmäßig gebildet:
Bereichk[j,l] = Σi pik · Xijkl (über alle Güter i, nicht nur N₁).
Güter zu N₁ zuordnen — der Rest bildet N₂ (Restproduktion):
Schema A — Input-Output-Schema Variante 1 (unausgefüllt)
Vier Quadranten: Q1 (A1x) = güterbezogene Vorleistungen von N₁; Q2 (P2x) = auf Wirtschaftsbereiche
aggregierte Lieferungen von N₁ an N₂; Q3 (Q2x) = auf Wirtschaftsbereiche aggregierte Lieferungen von
N₂ an N₁; Q4 (A2x) = bereichsbezogene Vorleistungen aus der vollen Tabelle (analog Modell M9).
Zusätzlich: Restproduktion (aggregierte Lieferung an N₂), Y (Endnachfrage), X (Bruttoproduktion).
Berechnung
Tabelle A (N₁-Zeilen): je Bereich k vollständig aus Naturaleinheiten — Q1 (N₁→N₁) plus je Bereich l
eine "Restproduktion"-Spalte (N₁→N₂, aggregiert). Tabelle B (Naturalwert-Verflechtungsbilanz):
dieselben Zeilen, aber über die Bereiche k aufsummiert (M4-Prinzip). Die zugehörigen Bereich-Zeilen
(Q3/Q4) sind wertmäßig und erfordern Preisdaten — hier nur als Beispielwerte gezeigt.
Formel 1: Restpro.ikl = Σj∈N₂ Xijkl — Lieferung von (i,k)∈N₁ an N₂, je Bereich l
Formel 2: Xi (Tabelle B) = Σk Xik (Tabelle A) — Aggregation über Bereiche
aijkl = Xijkl/Xjl: Inputkoeffizient wie im vierdimensionalen Modell (Reiter 1).
ai,Rl = Restpro.ikl / X·l: Anteil der Restproduktion an den Vorleistungen von Bereich l.