🔬 Einheitswurzeltest
ADF-Test · Stationaritätsprüfung · Empfehlung für d
Stationarität: Mittelwert, Varianz und Autokovarianz zeitlich konstant. Nicht-stationäre Reihen müssen differenziert werden (→ d in ARIMA).
Originale Zeitreihe
1. Differenz
ADF-Test: H₀ = Einheitswurzel. p < 0.05 → stationär.
Kritische Werte: −3.43 (1%) · −2.86 (5%) · −2.57 (10%)
Kritische Werte: −3.43 (1%) · −2.86 (5%) · −2.57 (10%)
🧪 Ljung-Box / ARCH-LM Test
Prüft Autokorrelation und ARCH-Effekte vor der Modellierung
Ljung-Box: H₀ = keine Autokorrelation in den Residuen/Daten. Ablehnung → ARIMA sinnvoll.
ARCH-LM Test: H₀ = keine bedingte Heteroskedastizität. Ablehnung → GARCH sinnvoll.
ARCH-LM Test: H₀ = keine bedingte Heteroskedastizität. Ablehnung → GARCH sinnvoll.
Parameter
ACF der Daten
ARCH-LM Statistik nach Lag
📐 ARIMA-Modell
Autoregressive Integrated Moving Average
Parameter
ARIMA(p,d,q): p = AR-Ordnung, d = Differenzierungen, q = MA-Ordnung. Auto-ARIMA wählt per AIC-Minimierung (Grid p,q ≤ 3).
Modellgleichung
–
Beobachtet vs. Angepasst
Residuen
ACF der Residuen
Residuen-Histogramm
➕ ARIMAX-Modell
ARIMA mit exogenen Regressoren (Transferfunktionsmodell)
ARIMAX(p,d,q): Erweitert ARIMA um externe Einflussgrößen X.
ΔdYₜ = c + AR(p) + MA(q) + β·Xₜ + εₜ
Anwendung: BIP-Prognose mit Zinssatz, Absatz mit Werbeausgaben, Inflation mit Ölpreis.
ΔdYₜ = c + AR(p) + MA(q) + β·Xₜ + εₜ
Anwendung: BIP-Prognose mit Zinssatz, Absatz mit Werbeausgaben, Inflation mit Ölpreis.
Parameter
Modellgleichung
–
Beobachtet vs. Angepasst (ARIMAX)
Residuen
Exogene Variable X + Y (normiert)
ARIMA vs. ARIMAX Vergleich
🌊 GARCH-Modell
Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity
Parameter
GARCH(p,q): σ²ₜ = ω + Σαᵢε²ₜ₋ᵢ + Σβⱼσ²ₜ₋ⱼ · Modelliert zeitvariante Volatilität. Anwendung: Finanzrisiko, Value-at-Risk.
Varianzgleichung
–
Renditen & bedingte Volatilität ±σ
Bedingte Varianz σ²
α: ARCH-Effekt (kurzfristige Reaktion). β: GARCH-Persistenz. α+β nahe 1 = sehr persistente Volatilität.
VaR (95%): Maximaler Verlust mit 95% Wahrscheinlichkeit = −1.645·σ.
VaR (95%): Maximaler Verlust mit 95% Wahrscheinlichkeit = −1.645·σ.
🔮 Prognose
Vorwärtsprognose aus ARIMA/ARIMAX mit Konfidenzband
Einstellungen
⚠ Basiert auf dem zuletzt im ARIMA-Tab geschätzten Modell. Bitte dort zuerst schätzen.
Zeitreihe + Prognose mit Konfidenzband
| Schritt | Prognose | Untergrenze | Obergrenze | Std.Fehler |
|---|
🔄 Rolling Forecast
Out-of-Sample Validierung mit gleitendem Schätzfenster
Rolling Window: Das Modell wird mit einem festen Fenster wiederholt geschätzt. Nach jedem Schritt wird ein Schritt voraus prognostiziert und mit dem tatsächlichen Wert verglichen → reale Prognosequalität ohne Look-Ahead-Bias.
Parameter
Beobachtet vs. Rolling-Prognose (Test-Set)
Prognosefehler über Zeit
RMSE (Root Mean Squared Error): Quadratischer Durchschnittsfehler – bestraft große Fehler stärker.
MAE (Mean Absolute Error): Mittlerer absoluter Fehler – robuster gegenüber Ausreißern.
MAPE (Mean Absolute Percentage Error): Relativer Fehler in Prozent.
MAE (Mean Absolute Error): Mittlerer absoluter Fehler – robuster gegenüber Ausreißern.
MAPE (Mean Absolute Percentage Error): Relativer Fehler in Prozent.
📊 Modellvergleich
Grid-Suche über ARIMA-Ordnungen · AIC · BIC · RMSE
Grid-Suche
AIC: Belohnt Güte, bestraft Komplexität moderat. BIC: Bestraft stärker → sparsamere Modelle. Optimal: niedrigster Wert.
AIC / BIC nach Modell
| Modell | AIC | BIC | Log-Lik. | RMSE | Rang |
|---|
🔗 Kointegration
Engle-Granger Zweischritt · Langfristige Gleichgewichtsbeziehungen
Kointegration: Zwei I(1)-Reihen haben eine stationäre Linearkombination → langfristiges Gleichgewicht. Basis für VECM und Pairs Trading.
Zeitreihen auswählen
Y und X (normiert)
Spread (Residuen)
Kointegrationsgleichung
–
Streudiagramm + Regressionsgerade
ACF der Residuen
Kritische Werte (EG, n≥100): 1% = −3.90 · 5% = −3.34 · 10% = −3.04. H₀: keine Kointegration.
Heatmap ADF-Statistik aller Paare
| Y | X | ADF-Stat. | β | R² | Ergebnis |
|---|
⚡ Granger-Kausalität
Testet ob X die Prognose von Y verbessert
Granger-Kausalität: X „Granger-verursacht" Y, wenn vergangene Werte von X die Prognose von Y verbessern (über vergangene Y-Werte hinaus).
Methode: F-Test: Vergleich restriktiertes AR(p) vs. unrestrikiertes VAR(p)-Modell.
Achtung: Granger-Kausalität ≠ echte Kausalität – nur prädiktive Nützlichkeit.
Methode: F-Test: Vergleich restriktiertes AR(p) vs. unrestrikiertes VAR(p)-Modell.
Achtung: Granger-Kausalität ≠ echte Kausalität – nur prädiktive Nützlichkeit.
Parameter
F-Statistik nach Lag-Ordnung
| Y | X | Lags | F-Statistik | p-Wert | Ergebnis (5%) |
|---|
🔀 VAR-Modell
Vector Autoregression · Simultane Modellierung mehrerer Zeitreihen
VAR(p): Jede Variable wird durch ihre eigenen Lags und die Lags aller anderen Variablen erklärt.
Yₜ = c + A₁Yₜ₋₁ + … + AₚYₜ₋ₚ + εₜ
Anwendung: Makroökonomie (BIP, Inflation, Zinsen), Finanzmarkt-Wechselwirkungen.
Yₜ = c + A₁Yₜ₋₁ + … + AₚYₜ₋ₚ + εₜ
Anwendung: Makroökonomie (BIP, Inflation, Zinsen), Finanzmarkt-Wechselwirkungen.
Variablen & Parameter
Angepasste Werte – Variable 1
Angepasste Werte – Variable 2
Residuen-Kreuzkorrelation (ausgewählte Variablen)
Impuls-Antwort-Funktionen (IRF) und Varianzzerlegung sind fortgeschrittene Erweiterungen des VAR-Modells und in zukünftigen Versionen geplant.